Indovinelli del piffero

Se risolvi questo sei un genio!

Direi di no: sei una persona normale, senza problemi cerebrali (normali capacità di deduzione) e senza particolari mancanze (sai far di conto, conosci le quattro operazioni di somma, sottrazione, divisione e moltiplicazione, sai dedurre e indurre, anche se istintivamente…). Ogni volta che mi sono imbattuto nella premessa «se risolvi questo sei un genio», il problema era piuttosto semplice. La premessa ti fa guardare al problema per curiosità (vediamo quali sono i problemi che affligono i geni). Dopodiché ti accorgi che il problema non è inarrivabile: sei forse un genio? No, ma sotto sotto ci conti e vuoi controllare se lo sei (fosse vera la premessa!)

Più che spingerti a risolverlo, il trucco può servire per far commentare il post, anche solo per dire «ma è semplice!», oppure per far vedere che anche tu sei un genio, o che il problema è tanto semplice che persino tu l'hai risolto… Le condivisioni aumentano.

Basta con la psicologia: vediamo un caso concreto.

Il post compare sul libro delle facce e in questo momento ha circa 27mila like, 282mila commenti e 8300 condivisioni.

Dal prof di fisica delle superiori. Qual è la soluzione???

Nell'immagine leggiamo:

Se a un concorso vi capita questo quesito:

1 + 4 = 5

2 + 5 = 12

3 + 6 = 21

8 + 11 =

Dipenderebbe dal tipo di concorso, ma per i concorsi che ho in mente io se mi capitasse andrei a cercare l'autore per fargli un paio di domandine.

La cosa interessante è che possiamo arrivare a due (per ora diciamo due…) conclusioni: 96(A) e 96(B).

• Per ottenere 96(A) diciamo che prendiamo il risultato della riga precedente (o 0 in mancanza di una riga precedente) per aggiungerlo al risultato della somma della riga successiva: 〈2 ⊕ 5 = 7 + risultato “riga precedente”〉, ma bisogna stare attenti a qual è la «riga precedente»;
• per ottenere 96(B) basta ridefinire l'operatore binario + in modo che, dati i due operandi a e b, “esegua” in realtà 〈a + a×b〉; p.es. 2 ⊕ 5 = 2 + 2×5 = 12 (uso e userò ⊕ per non confondere le operazioni).

Il primo metodo porta ad un “errore” se non si definisce qual è la riga che viene dopo 〈3⊕6=21〉. Sulla carta è 〈8⊕11〉, ma perché si salta da 3 a 8 e da 6 a 11? Dobbiamo trovare una spiegazione valida; una spiegazione valida è un omissis: la “sequenza” completa comprenderebbe anche 4, 5, 6 e 7 per il primo operando e 7, 8, 9 e 10 per il secondo:

* 1 ⊕ 4  = 5    N0
* 2 ⊕ 5  = 12   N1
* 3 ⊕ 6  = 21   N2
  4 ⊕ 7  =      N3
  5 ⊕ 8  =      N4
  6 ⊕ 9  =      N5
  7 ⊕ 10 =      N6
* 8 ⊕ 11 =      N7

Se fate le somme indicate aggiungendo al risultato il risultato della riga precedente, ottenete:

* 1 ⊕ 4  = 5    N0
* 2 ⊕ 5  = 12   N1
* 3 ⊕ 6  = 21   N2
  4 ⊕ 7  = 32   N3
  5 ⊕ 8  = 45   N4
  6 ⊕ 9  = 60   N5
  7 ⊕ 10 = 77   N6
* 8 ⊕ 11 = 96   N7

Cioè proprio quanto vi aspettate definendo a⊕b come a + a × b.

Cerchiamo una formuletta:

  a   ⊕ b   = (a+b)     + 0
  a+1 ⊕ b+1 = (a+1+b+1) +  a+ b    = 2a + 2b + 2
  a+2 ⊕ b+2 = (a+2+b+2) + 2a+2b+2  = 3a + 3b + 6
  a+3 ⊕ b+3 = (a+3+b+3) + 3a+3b+6  = 4a + 4b + 12
  a+4 ⊕ b+4 = (a+4+b+4) + 4a+4b+12 = 5a + 5b + 20
  ...
  a+N ⊕ b+N = (N+1)(a+b) + N(N+1)

Se sostituite i numerelli vedete che i conti tornano. Anche se non sostituite i numerelli, vi accorgete che questa “formula” dipende solo da due “cose”, la somma (a+b) e N, mentre nell'altro caso la dipendenza è da a e b. La somma (a+b) funziona da “generatore” (ad un “generatore” corrispondono più a e b possibili).

Le due funzioni sono

\[ f(a, b, n) = (n+1)(a+b) + n(n+1) \]

e

\[ g'(a, b) = a + ab \]

Possiamo riscrivere g′ in modo da poter generare la sequenza incrementando n e mettendo a=1 e b=4.

\[ g(a, b, n) = g'(a+n, b+n) \]

Si vede subito (con un po' di manipolazioni) che sono uguali se è verificata

\[ b = ab \]

Cioè quando a=1 o b=0. (Se le scriviamo come f_n(a, b) e g_n(a, b) forse è meglio, ma in fin dei conti è lo stesso; tra l'altro ammetto di averle scritte così perché per non farmi i conti a mano le ho davvero scritte così — insomma avete capito — come funzioni di un linguaggio di programmazione.)

Il problema non ci permette di stabilire qual è quella “giusta”, cioè quella usata da chi ha scritto il problema. Uno potrebbe dire: che importa, tanto alla fine la risposta è sempre 96. Ma la domanda più interessante, abbiamo capito il meccanismo usato dall'autore per scrivere quelle righe?, rimane senza risposta.

Probabilmente g′ è quella giusta¹: una volta estrapolata, possiamo rispondere sempre senza problemi alla domanda quanto fa a⊕b? Gli esempi forniti diventano informazioni ridondanti, non ne abbiamo più bisogno.

Nel caso di f, le cose stanno diversamente. Per esempio, quanto fa 9⊕10? Se non ci danno la riga precedente, o una qualunque delle precedenti righe, non possiamo dirlo: dati insufficienti. Una risposta giusta potrebbe essere 19. Se ci dessero un'altra riga, invece…

 8 ⊕ 9  =  17
 9 ⊕ 10 =  ...

In questo caso risponderemmo 36. Oppure

 7 ⊕ 8  = 28
 9 ⊕ 10 = ...

Allora risponderemmo 45. Se ci dessero

 3 ⊕ 3  = 10
 9 ⊕ 10 = ...

non potremmo rispondere, di nuovo. Questo perché per passare da una riga alla successiva c'è una precisa regola, che abbiamo usato per ricavare la formula: bisogna incrementare di una pari quantità (N) i due “operandi”; quindi 3⊕3 fa parte di un'altra “sequenza”. Irrimediabile? In questo caso sì, perché è vero che 3⊕3=10 è la seconda riga (N=1) di 2⊕2=4, è vero che potremmo scrivere 4 in modi diversi, però purtroppo nessuno di questi è tale che ci sia una differenza (in valore assoluto) di 1 (10-9) tra a e b. Invece

 3 ⊕ 3  = 10
 8 ⊕ 10 = ...

ci permette di dare una risposta usando (1,3) invece di (2,2):

 2 ⊕ 2  = 4
 3 ⊕ 3  = 10

Diventa

 1 ⊕ 3  = 4
 2 ⊕ 4  = 10

E da qui arriviamo alla risposta per 8⊕10: 88. Che è quello che abbiamo anche da g′, perché abbiamo ricondotto a a 1. Si può sempre fare, visto che a + b posso sempre scriverlo come 1 + (a + b − 1), ma che ciò permetta di calcolare la “riga” richiesta o meno, dipende… Gli operandi di Sinistra e di Destra devono potersi scrivere come S = 1 + N e D = a + b − 1 + N. Nel caso specifico

 1 ⊕ 2+2-1
 8 ⊕ 10 = 1 +7 ⊕ 2+2-1 +7
 (N=7)

Magari ho scritto qualche strafalcione, ma non fa niente. Volevo solo arrivare ad una conclusione, che è quanto è stato “dimostrato”: la risposta può essere 96, ma non ci è dato di scegliere tra due perché diversi.

Non si può dire sbagliato, quindi in fin dei conti è giusto

Torniamo alle origini:

1 ⊕ 4  = 5
2 ⊕ 5  = 12
3 ⊕ 6  = 21
8 ⊕ 11 = ?

Avevo scritto che il primo metodo porta ad un “errore” se non si definisce qual è la riga che viene dopo 〈3⊕6=21〉. Perché? C'è un'assunzione non necessaria: mi dissocio da quell'affermazione! In effetti potrebbe benissimo essere che chi ha fatto il quesito abbia costruito quei numeri, tutti e soli quelli che vediamo, seguendo la regola “grafica” della riga precedente.

Torno ad usare + invece di ⊕, perché effettivamente in questo caso il + conserva il suo significato tradizionale, ma c'è un'operazione extra eseguita dopo il segno di =. Potrebbe essere questo simbolo ad assumere un significato diverso, per esempio: “questa uguaglianza è verificata se sottraete al numero alla mia destra il numero alla destra del mio gemello della riga precedente, o 0 se non ho righe a precedermi”.

1 + 4  "="  5  - 0
2 + 5  "=" 12  - 5
3 + 6  "=" 21  - 12
8 + 11 "=" ..  - 21

In questo caso la risposta è 40, perché 40-21=19.

Si tratta di una deduzione plausibile e pertanto non può essere definita sbagliata. Sì, è vero che se avessimo messo altre righe in mezzo la risposta sarebbe diversa, perché ogni riga è legata alla precedente che può essere arbitraria². Ma dov'è esattamente il vincolo del problema che restringe i possibili significati dei simboli? Dov'è la richiesta di genericità³?

Le risposte

Si può pervenire a 96 in due modi diversi, anche se uno, quello che ci dice che in realtà il + esegue l'operazione 〈a + ab〉 tra gli operandi a e b, è più “semplice” e presumibilmente preferito dal rasoio di Occam.

Anche la risposta 40 non può essere scartata.

Nelle risposte al post ho letto anche le seguenti: 36, 109, 92. Al volo non mi viene in mente niente sul ragionamento che possono aver fatto i proponenti. Mi sembrano campate in aria, però sappiamo che un ragionamento ci deve essere stato, anche se sbagliato; dei conti sono stati fatti, anche se sbagliati. Sarebbe interessante riuscire ad evincerli. Magari sono anch'essi plausibili e allora la lista di risposte accettabili si allungherebbe.

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1. Dice il mainstream che è convinto che debba sempre esistere una risposta giusta e una sbagliata, il bianco candido e il nero assoluto… ma sto trascendendo.↩

2. Questa è la differenza rispetto al caso in cui esista una regola per “passare” da una riga alla successiva (e quindi viceversa), regola dedotta dalle prime tre righe, che ci ha portato anche ad un'altra assunzione: che ci fossero delle righe mancanti tra l'ultima e la terza, nonostante il problema non abbia nessuna indicazione (grafica o di altro genere) che suggerisca un'omissione. Forse è il rasoio di Occam a dirci che 〈a + a×b〉 è una risposta migliore. Ma questo è un gioco, e nel gioco le ambiguità si pagano giudicando ammissibili tutte le risposte plausibili.↩

3. La soluzione che trovate deve permettervi di calcolare il risultato dell'operazione + tra due numeri qualunque qualora vi siano forniti soltanto questi.↩