Questo “fatterello” che riguarda Eulero e ciò che dice Penrose in questo passo (tratto dal suo “La strada che porta alla realtà”) dovrebbero ricordarci qualcosa… solo che troppo spesso in troppi non ricordano cosa…
Enfasi (e ovviamente link) sono aggiunte.
[L'espressione]
\[ 1 + 2^{2} + 2^{4} + 2^{6} + 2^{8} + \ldots = (1-2^{2})^{-1} = -\frac{1}{3} \]
ha effettivamente qualche senso? Il grande matematico del diciottesimo secolo, Leonhard Euler, scriveva spesso equazioni come questa ed era diventato quasi una moda punzecchiarlo gentilmente per il suo sostegno a tali assurdità, mentre lo si potrebbe scusare per il fatto che in quell'epoca non si conosceva praticamente nulla delle questioni di «convergenza» e di cose simili. In effetti, è vero che il trattamento matematicamente rigoroso delle serie non arrivò prima degli ultimi anni del diciottesimo secolo e dei primi del diciannovesimo […]. Inoltre, secondo questo trattamente rigoroso, l'equazione di sopra sarebbe ufficialmente classificata come una sciocchezza. Tuttavia io penso che sia importante rendersi conto che, nel senso appropriato, Euler sapeva veramente quello che faceva quando scriveva apparenti assurdità di questa natura, e che esistono sensi in cui l'equazione di sopra deve essere considerata «corretta».
In matematica è infatti imperativo essere assolutamente chiari nel richiedere che le equazioni abbiano un significato esatto e accurato.
È ugualmente importante anche non essere indifferenti alle «cose che avvengono dietro le scene» che, in definitiva, possono condurre a intuizioni più profonde. È facile perdere di vista tali cose aderendo con troppo rigore a ciò che appare essere strettamente logico, come il fatto che la somma dei termini positivi 1 + 4 + 16 + 64 + 256 + … non può verosimilmente essere -1/3.
A mia immodesta impressione, oggigiorno troppi degli “scienziati” che escono dalle fucine delle università, dopo brevi o lunghi percorsi accademici, non sono in grado di apprezzare quanto Penrose sta dicendo. Ma, cosa ancor più grave, se non è improbabile che leggendo le parole di Penrose possano farsi venire un dubbio e accorgersi che c'è qualcosa su cui vale la pena riflettere, è non trascurabilmente probabile che molti sarebbero propensi a bruciare gli appunti di uno sconosciuto reo di aver scritto “equazioni sciocche” o di aver dato «sostegno a tali assurdità».
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