L'insieme dei numeri reali non è numerabile. Si può vedere con il metodo della diagonale di Cantor, “facile” e intuitivo. (E applicabile anche in altre circostanze…)
Per comodità consideriamo solo l'intervallo [0,1] e partiamo assumendo che questo intervallo sia numerabile. Possiamo costruire dunque un elenco di tutti i numeri reali in quell'intervallo, come ho fatto nell'immagine sopra, e metterlo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali (cioè ipotizziamo che sia numerabile).
Ora consideriamo un numero formato prendendo le cifre della diagonale (in rosso), cioè 0.7909602345…. Cambiamo ciascuna cifra con un'altra, per esempio con la successiva (considerando che per 9 mettiamo 0), ottenendo 0.8010713456…. Questo numero differirà dal primo dell'elenco per la prima cifra decimale, dal secondo dell'elenco per la seconda cifra, dal terzo per la terza e così via. Insomma sarà diverso da tutti i numeri dell'elenco!
Abbiamo una contraddizione: avevamo ipotizzato che l'elenco contenesse tutti i numeri reali dell'intervallo e invece ne abbiamo trovato uno che non può essere nell'elenco. Allora il numero (infinito) di naturali non bastano per “contare” tutti gli elementi dell'insieme dei numeri reali in quell'intervallo: l'intervallo (e, di conseguenza, l'insieme dei numeri reali) non è numerabile (e la nostra ipotesi di partenza va perciò abbandonata).1
Quindi deve esistere un infinito che è “più infinito”: la cardinalità dell'insieme dei numeri reali è maggiore di quella dell'insieme dei numeri naturali2.
Si è proceduto per assurdo: ipotizziamo che l'insieme sia numerabile e arriviamo a una contraddizione. Dunque l'insieme non è numerabile.↩
La cardinalità dell'insieme dei numeri naturali è indicata tramite il numero cardinale transfinito \( \aleph_0 \) (aleph-zero) e quella dell'insieme dei numeri reali, presumibilmente, è \( \aleph_1 \), cioè il secondo più piccolo numero cardinale transfinito. In realtà, \( \aleph_1 \) è la cardinalità dell'insieme di tutti gli insiemi numerabili di numeri ordinali, ma secondo l'ipotesi del continuo non esistono insiemi con cardinalità strettamente compresa tra quella dell'insieme dei numeri naturali e quella dei numeri reali; ciò implica che, indicando con \( \mathfrak{c} \) la cardinalità dell'insieme dei reali, si debba avere \( \mathfrak{c} = \aleph_1 \).↩
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