La radice quadrata di 2 non è un numero razionale, cioè un numero che possa essere espresso come rapporto (ratio) di due numeri naturali. Tramite la sola aritmetica dei numeri naturali è possibile dimostrarlo.
È improbabile […] che la scoperta [di questa dimostrazione] sia stata compiuta da Pitagora, o comunque molto anticamente: non sembra che Zenone la conoscesse, e neppure Democrito. Inoltre, dato che essa mina le basi del pitagorismo, è ragionevole supporre che non fu compiuta molto tempo prima che l'ordine raggiungesse il culmine della sua influenza, e almeno non prima che si fosse ben consolidato, poiché sembra abbia contribuito al suo declino. La tradizione secondo cui fu compiuta all'interno dell'ordine, ma mantenuta segreta, mi sembra molto plausibile.
Essa può essere sostenuta dalla considerazione che l'antico termine per «irrazionale» — «arrētos», «impronunciabile», o «innominabile» — poteva ben contenere l'allusione a un segreto innominabile. La tradizione sostiene che il membro della scuola che svelò il segreto fu ucciso per il suo tradimento1. Comunque andassero le cose, l'accquisizione del fatto che esistevano delle grandezze irrazionali […] minava la fede dell'ordine pitagorico ed eliminava la speranza di derivare la cosmologia, o anche la geometria, dall'aritmetica dei numeri naturali.2
La dimostrazione è, tra l'altro, abbastanza semplice (almeno secondo la cultura corrente). Si procede per assurdo: supponiamo che esistano due numeri, m e n, tali che \( \sqrt{2} = n/m \). Essi devono essere primi tra loro, cioè non avere fattori comuni, altrimenti questi si potrebbero semplificare e potremmo scrivere il rapporto come n'/m' ecc. In particolare, non devono avere 2 come fattore comune, sicché solo uno dei due numeri potrà essere pari.
Elevando al quadrato abbiamo
\[ 2 = \frac{n^2}{m^2} \]
da cui otteniamo:
\[ 2m^2 = n^2 \]
Cioè n è pari (il quadrato di un numero dispari è sempre dispari). Ma se è pari, si potrà scrivere come \( n = 2a \). E perciò:
\[ 2m^2 = 4a^2 \]
e semplificando
\[ m^2 = 2a^2 \]
cioè m è pari… Che è in contraddizione con quanto detto prima, cioè che n e m fossero primi tra loro (ovvero che, in particolare, solo uno dei due potesse essere pari). Dunque assumere che esistano due numeri, n e m, tali che il loro rapporto dia la radice quadrata di 2, porta a un assurdo. Allora, la radice di due non è esprimibile come rapporto di due numeri interi, cioè non è un numero razionale.
Per segreti come questo un tempo si poteva uccidere. Oggi le cose sarebbero un bel po' più complicate; un simile segreto non durerebbe a lungo e il suo “scopritore” potrebbe diventare un eroe, ma non senza detrattori pronti ad infangarlo e coprirlo di ridicolo o metterlo nei guai, un po' come un Assange. Oggi esistono molti più modi per uccidere (non biologicamente) una persona.
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